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设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,a2=6,a3=11,且(5n-8...

设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,a2=6,a3=11,且(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=An+B,n=1,2,3,…,其中A、B为常数.
(1)求A与B的值.
(2)证明数列{an}为等差数列.
(1)利用s1,s2,s3,结合(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=An+B,推出方程组直接求A与B的值. (2)利用(1)化简(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=An+B,得到(5n-3)sn+2-(5n+7)sn+1=-20n-28,然后利用等差数列的定义,证明数列{an}为等差数列. 【解析】 (1)由已知得s1=a1=1,s2=a1+a2=7,s3=a1+a2+a3=18 (2)证明:由(1)知(5n-8)sn+1-(5n+2)sn=-20n-8① 所以(5n-3)sn+2-(5n+7)sn+1=-20n-28② ②-①得(5n-3)sn+2-(10n-1)sn+1+(5n+2)sn=-20③ 所以(5n+2)sn+3-(10n+9)sn+2+(5n+7)sn+1=-20④ ④-③得(5n+2)sn+3-(15n+6)sn+2+(15n+6)sn+1-(5n+2)sn=0 因为an+1=sn+1-sn,所以(5n+2)an+3-(10n+4)an+2+(5n+2)an+1=0 又因为5n+2≠0,所以an+3-2an+2+an+1=0,即an+3-an+2=an+2-an+1 n≥1, 又a3-a2=a2-a1=5.∴数列{an}为等差数列.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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