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[必做题]利用空间向量的方法解决下列问题:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,...

[必做题]利用空间向量的方法解决下列问题:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,DC的中点.
(1)求AE与D1F所成的角;
(2)证明AE⊥面A1D1F.

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解法一(1)利用向量的数量积求出,即可求出AE与D1F所成的角是90°; (2)通过(1),以及证明AE⊥A1D1,又D1F∩A1D1=D1,即可得到结论. 解法二(1)建立如图所示的空间直角坐标系,求出AE与D1F的向量,通过数量积求出它们的夹角. (2)通过数量积为0,说明,AE⊥A1D1,又D1F∩A1D1=D1,得到结论. 【解析】 法一(1)设正方体的棱长为1,== 所以所成的角为90°  …(5分) (2)由(1), 所以AE⊥A1D1,又D1F∩A1D1=D1, 所以AE⊥平面A1D1F.…(10分) 法二(1)建立如图所示的空间直角坐标系, 设正方体的棱长为1,则A(1,0,0), E(1,1,),F(0,,0), D1(0,0,1)D(0,0,0) 所以. 可得, 故所成的角为90° (2) 所以AE⊥A1D1, 又D1F∩A1D1=D1, 故AE⊥平面A1D1F.…(10分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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