Question

[必做题]利用空间向量的方法解决下列问题：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是BB₁，DC的中点．
（1）求AE与D₁F所成的角；
（2）证明AE⊥面A₁D₁F．

Answer

解法一（1）利用向量的数量积求出，即可求出AE与D1F所成的角是90°；
（2）通过（1），以及证明AE⊥A1D1，又D1F∩A1D1=D1，即可得到结论．
解法二（1）建立如图所示的空间直角坐标系，求出AE与D1F的向量，通过数量积求出它们的夹角．
（2）通过数量积为0，说明，AE⊥A1D1，又D1F∩A1D1=D1，得到结论．
【解析】
法一（1）设正方体的棱长为1，==
所以所成的角为90°  …（5分）
（2）由（1），
所以AE⊥A1D1，又D1F∩A1D1=D1，
所以AE⊥平面A1D1F．…（10分）
法二（1）建立如图所示的空间直角坐标系，

设正方体的棱长为1，则A（1，0，0），
E（1，1，），F（0，，0），
D1（0，0，1）D（0，0，0）
所以．
可得，
故所成的角为90°
（2）
所以AE⊥A1D1，
又D1F∩A1D1=D1，
故AE⊥平面A1D1F．…（10分）