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设函数f(x)=p(x-)-2lnx,g(x)=.(p是实数,e是自然对数的底数...

设函数f(x)=p(x-manfen5.com 满分网)-2lnx,g(x)=manfen5.com 满分网.(p是实数,e是自然对数的底数)
(1)当p=2时,求与函数y=f(x)的图象在点A(1,0)处相切的切线方程;
(2)若f(x)在其定义域内为单调递增函数,求p的取值范围;
(3)若在[1,e]上至少存在一点xo,使得f(x)>g(x)成立,求p的取值范围.
(1)求导要使“f(x)为单调增函数”,转化为“f’(x)≥0恒成立”,再转化为“p≥=恒成立”,由最值法求解.同理,要使“f(x)为单调减函数”,转化为“f’(x)≤0恒成立”,再转化为“p≤=恒成立”,由最值法求解,最后两个结果取并集. (2)由“函数f(x)的图象相切于点(1,0”求得切线l的方程,再由“l与g(x)图象相切”得到(p-1)x2-(p-1)x-e=0由判别式求解即可. (3)因为“在[1,e]上至少存在一点x,使得f(x)>g(x)成立”,要转化为“f(x)max>g(x)min”解决,易知g(x)=在[1,e]上为减函数,所以g(x)∈[2,2e],①当p≤0时,f(x)在[1,e]上递减;②当p≥1时,f(x)在[1,e]上递增;③当0<p<1时,两者作差比较. 【解析】 (1)∵,要使f(x)为单调增函数,须f’(x)≥0恒成立, 即px2-2x+p≥0恒成立,即p≥=恒成立,又≤1, 所以当p≥1时,f(x)在(0,+∞)为单调增函数. 要使f(x)为单调减函数,须f’(x)≤0恒成立,即px2-2x+p≤0恒成立,即p≤=恒成立,又>0,所以当p≤0时,f(x)在(0,+∞)为单调减函数. 综上所述,f(x)在(0,+∞)为单调函数,p的取值范围为p≥1或p≤0 (2)∵,,∴f’(1)=2(p-1),设直线l:y=2(p-1)(x-1), ∵l与g(x)图象相切,∴y=2(p-1)(x-1)得(p-1)(x-1)=,即(p-1)x2-(p-1)x-e=0 y=当p=1时,方程无解;当p≠1时由△=(p-1)2-4(p-1)(-e)=0,得p=1-4e,综上,p=1-4e (3)因g(x)=在[1,e]上为减函数,所以g(x)∈[2,2e] ①当p≤0时,由(1)知f(x)在[1,e]上递减⇒f(x)max=f(1)=0<2,不合题意 ②当p≥1时,由(1)知f(x)在[1,e]上递增,f(1)<2,又g(x)在[1,e]上为减函数, 故只需f(x)max>g(x)min,x∈[1,e], 即:f(e)=p(e-)-2lne>2⇒p>③当0<p<1时,因x-≥0,x∈[1,e] 所以f(x)=p(x-)-2lnx≤(x-)-2lnx≤e--2lne<2不合题意 综上,p的取值范围为( ,+∞)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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