Question

数列{a_n}中，如果存在非零常数T，使得a_n+T=a_n对于任意的非零自然数n均成立，那么就称数列{a_n}为周期数列，其中T叫做数列{a_n}的周期．已知数列{x_n}满足x_n+1=|x_n-x_n-1|（n≥2），如果x₁=1，x₂=a（a∈R，a≠0），当数列{x_n}的周期为3时，求该数列前2009项和是    ．

Answer

先要弄清题意中所说的周期数列的含义，然后利用这个定义，针对题目中的数列的周期，先求x3，再前三项和s3，最后求s2009．
解【解析】
∵xn+1=|xn-xn-1|（n≥2，n∈N*），
且x1=1，x2=a（a≤1，a≠0），
∴x3=|x2-x1|=1-a
∴该数列的前3项的和s3=1+a+（1-a）=2
∵数列{xn}周期为3，
∴该数列的前2009项的和s2009=s2007+x1+x2=s3+1+a=1339+a，
故答案为1339+a．