Question

已知圆C：（x-2）²+y²=1，D是y轴上的动点，直线DA、DB分别切圆C于A、B两点．
（1）如果，求直线CD的方程；
（2）求动弦AB的中点的轨迹方程E；
（3）直线x-y+m=0（m为参数）与方程E交于P、Q两个不同的点，O为原点，设直线OP、OQ的斜率分别为K_OP，K_OQ，试将K_OP•K_OQ表示成m的函数，并求其最小值．

Answer

（1）设E为CD与AB的交点，由，得，，由此能求出直线MQ的方程．
（2）设E（x，y），D（0，a）由点C，E，D在一条直线上，得，，由△ECB∽△BCD可得：|BC|2=|CE||CD|，由此能求出动弦AB的中点的轨迹方程E．
（3）设P、Q两点的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），联立和y=x+m得，由此能将KOP•KOQ表示成m的函数，并求其最小值．
【解析】
（1）设E为CD与AB的交点，由，
可得，
，
由△ECB∽△BCD可得：|CD|=3，
，
所以点D坐标为，
∴直线MQ的方程是．
即或
（2）设E（x，y），D（0，a）由点C，E，D在一条直线上，
得，
∴①
由△ECB∽△BCD可得：|BC|2=|CE||CD|，
即②
由①②消去a得．
（3）设P、Q两点的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），
联立和y=x+m，
得，
则，
将韦达定理代入得，
且又因为圆的方程中x＜2，
所以m≠-2，时取得最小值，
最小值为