Question

已知二次函数y=g（x）在（-∞，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增，最小值为m-1（m≠0），且y=g（x）的导函数的图象与直线y=2x平行，设f（x）=．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）上的点P到点Q（0，-2）的距离的最小值为，求m的值；
（Ⅱ）若m=1，方程有三个不同的实数解，求实数k的范围．

Answer

（Ⅰ）分析出抛物线y=g（x）顶点坐标为（1，m-1），可设g（x）=a（x-1）2+m-1（a≠0），求导g'（x）=2ax-2a；a=1．从而，利用两点距离公式建立关于x的函数，求出最小值的表达式，即可解出m值．
（Ⅱ）经过计算化简，原方程化为|2x-1|2-（2+3k）|2x-1|+（1+2k）=0，看作关于|2x-1|的二次方程．再利用换元法、数形结合的思想求实数k的范围．
【解析】
（Ⅰ）依题可设g（x）=a（x-1）2+m-1（a≠0），则g'（x）=2a（x-1）=2ax-2a；
又g′（x）的图象与直线y=2x平行∴2a=2      a=1   
∴g（x）=（x-1）2+m-1=x2-2x+m，，…（3分）
设P（x，y），则|PQ|2=x2+（y+2）2=
=
当且仅当时，|PQ|2取得最小值，即|PQ|取得最小值
当m＞0时，  解得m=
当m＜0时，   解得            …（7分）
（Ⅱ）m=1，方程化为，
|2x-1|2-（2+3k）|2x-1|+（1+2k）=0，|2x-1|≠0
令|2x-1|=t，则方程化为t2-（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0）
∵方程有三个不同的实数解，
∴由t=|2x-1|的图象知，t2-（2+3k）t+（1+2k）=0有两个根t1、t2，
且0＜t1＜1＜t2或 0＜t1＜1，t2=1…（11分）
记ϕ（t）=t2-（2+3k）t+（1+2k）
则或  ∴k＞0…（15分）