Question

矩形ABCD中，AB=6，BC=2，沿对角线BD将三角形ABD向上折起，使点A移至点P，使点P在平面BCD上的射影O在DC上，（如图）．
（Ⅰ）求证：PD⊥PC；
（Ⅱ）求直线CD与平面PBD所成角的正弦值．

Answer

（Ⅰ） 利用传统方法，要证线线垂直，可先证线面垂直，本题只需要证明DP⊥平面PCB 即可，
（Ⅱ）解法一：先作二面角的平面角，作CF⊥PB，F为垂足，从而可知∠CDF是CD与平面BDP所成的角，故可求；
解法二：以平行于BC的直线为x轴，以OC为y轴，以OP为z轴建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，从而转化为向量的夹角求解即可．
证明：（Ⅰ）∵PO⊥平面BCD，∴PO⊥BC
∴平面PCD⊥平面BCD
又∵BC⊥CD
∴BC⊥平面PCD∴BC⊥PD
又∵BP⊥PD∴DP⊥平面PCB
∴DP⊥CP                 …（7分）
（Ⅱ）解法一：
作CF⊥PB，F为垂足，∴DP⊥平面PCB∴平面PBD⊥平面BCP
∵CF⊥平面PDB，∴∠CDF是CD与平面BDP所成的角，
在Rt△PBC中，∴∠BCP=90°，，∴，∴CF•BP=BC•CP，∴，
在Rt△CDF中，
∴CD与平面BDP所成的角的正弦值为…（14分）
解法二：
由题意知 DC=6DP⊥CP
∴DO=2OC=4
如图，以平行于BC的直线为x轴，以OC为y轴，以OP为z轴建立空间直角坐标系，
则O（0，0，0），，D（0，-2，0），C（0，4，0），
∴，
设平面PBD的法向量为，
则 且
令y=1，则，，∴
记CD与平面BDP所成的角为θ则  =
∴CD与平面BDP所成的角的正弦值为…（14分）