Question

设定义在R上的函数f（x）存在反函数，且对于任意x∈R恒有f（x+1）+f（-x-3）=2，则f^-1（2009-x）+f^-1（x-2007）的值是（ ）
A．-2
B．0
C．2
D．不确定，与x有关

Answer

由换元得f（t）+f（-t-2）=2，注意（2009-x ）与 （x-2007 ）的和等于2，若（2009-x ）与 （x-2007 ）一个是t，则另一个是-t-2，再应用反函数的定义解出 t 和-t-2．
【解析】
∵f（x+1）+f（-x-3）=2，∴f（t）+f（-t-2）=2，
令 2009-x=m，x-2007=n，∴m+n=2，
∴可令 f（t）=m，f（-t-2）=n，由反函数的定义知，
∴t=f-1（m），-t-2=f-1（n）
∴f′（m）+f′（n）=-2，
即：f-1（2009-x）+f-1（x-2007）的值是-2，
故选A．