Question

对于函数f（x），若f（x）=x，则称x为f（x）的“不动点”；若f[f（x）]=x，则称x为f（x）的“周期点”，函数f（x）的“不动点”和“周期点”的集合分别记为A和B即A={x|f（x）=x}，B={x|f[f（x）=x]}．
（1）求证：A⊆B
（2）若f（x）=ax²-1（a∈R，x∈R），且A=B≠∅，求实数a的取值范围．

Answer

（I）分A=∅和A≠∅的情况，然后根据所给“不动点”和“稳定点”的定义来证明．
（II）理解A=B时，它表示方程ax2-1=x与方程a（ax2-1）2-1=x有相同的实根，根据这个分析得出求出a的值．
证明：（1）∀x∈A，即f（x）=x．
则有f[f（x）]=f（x）=x，x∈B
∴A⊆B
（2）∵f（x）=ax2-1
∴f[f（x）]=a（ax2-1）2-1
若f[f（x）]=x，则a（ax2-1）2-1-x=0a（ax2-1）2-1-x=a（ax2-1）2-ax2+ax2-x-1=a[（ax2-1）2-x2]+ax2-x-1=a（ax2-x-1）（ax2+x-1）+ax2-x-1=（ax2-x-1）（a2x2+ax-a+1）
∴B={x|（ax2-x-1）（a2x2+ax-a+1）=0}A={x|ax2-x-1=0}
当a=0时，A={-1}，B={-1}，A=B≠∅
∴a=0符合题意
当a≠0时，当A=B≠∅时，方程ax2-x-1=0有实根；对方程a2x2+ax-a+1=0根的情况进行分类讨论：
①若方程a2x2+ax-a+1=0有两个不相等的实根，则
此时．此时两个方程没有公共解，集合B中有四个元素．不合题意，舍去．
②若方程a2x2+ax-a+1=0有两个相等的实根，则
∴
解得．此时方程ax2-x-1=0的两根分别为；a2x2+ax-a+1=0的实根为．验证得：．
③若方程a2x2+ax-a+1=0无实根，此时A=B．则
解得：且a≠0．
从而所求a的取值范围为．