Question

将数列{a_n}中的所有项按每组比前一组项数多一项的规则分组如下：（a₁），（a₂，a₃），（a₄，a₅，a₆），（a₇，a₈，a₉，a₁₀），…每一组的第1个数a₁，a₂，a₄，a₇，…构成的数列为{b_n}，b₁=a₁=1，S_n为数列{b_n}的前n项和，且满足S_n+1（S_n+2）=S_n（2-S_n+1），n∈N^*，
（I）求证：数列{}成等差数列，并求出数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若从第2组起，每一组中的数自左向右均构成等比数列，且公比q为同一个正数，当a₁₈=-时，求公比q的值；   
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记每组中最后一数a₁，a₃，a₆，a₁₀，…构成的数列为{c_n}，设d_n=n²（n-1）•c_n，求数列{d_n}的前n项和T_n．

Answer

（I）证明：由sn+1（sn+2）=sn（2-sn+1），整理可得，可求sn，进而可求an
（II）由1+2+…+5=15，可得第1行至第5行共含有数列{an}的前15项，从而可求q
（III）由题意可得，每组中的数据依次构成以bn为首项，2为公比的等比数列，从而可求cn，进而可求dn，在利用错位相减法求解数列的和
【解析】
（I）证明：由sn+1（sn+2）=sn（2-sn+1）
得sn-sn+1=snsn+1
所以
又s1=b1=a1=1
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列
所以，即
所以
（II）【解析】
因为1+2+…+5=15
所以第1行至第5行共含有数列{an}的15项
故a18在表中第6行第三列．（12分）
所以，a18==，（13分）
所以q=2．（14分
（III）因为从第2组起，每组中的数据依次构成以bn为首项，2为公比的等比数列
所以（n≥2，n∈N*）
即
于是n≥2当时那么相减得，Tn=0+（-2）×2+（-3）×22+…+（-n）•2n-1
-Tn=0+2×2+3×22+…+n•2n-1
-2Tn=2×22+3×23+…+（n-1）•2n-1+n•2n
相减可得，Tn=2×2+22+23+…+2n-1-n•2n-1=（1-n）•2n