Question

如图：△ABC是边长为2的正三角形，EC⊥面ABC，BD∥CE，且CE=CA=2BD，M是EA的中点．
①求证：DE=DA；
②求证：DM∥面ABC；
③求C到面ADE的距离．

Answer

①利用勾股定理求得DE和AD 的长，从而得到结论．
②设AC的中点为F，证得BDMF为矩形，可得BF∥DM，进而证得DM∥平面ABC．
③易证DM⊥平面AEC，故平面ADE⊥平面AEC，过C作CH⊥AE，则CH⊥平面ADE，面积法求得CH的值．
【解析】
①证明：∵EC⊥面ABC，BD∥CE，∴DB⊥平面ABC．∵△ABC是边长为2的正三角形且CE=CA=2BD，
∴在直角三角形ABC中，可求得． 在直角梯形ECBD中，可求得，∴DE=AD．
②证明：设AC的中点为F，则，由①，
∴MF∥DB，MF=DB，故BDMF为矩形，∴BF∥DM． 又∵DM⊄平面ABC，BF⊂平面ABC，∴DM∥平面ABC．
③易证DM⊥平面AEC，∴平面ADE⊥平面AEC，
过C作CH⊥AE，则CH⊥平面ADE，故CH之长为点C到平面ADE的距离，
由面积法求得 ．