Question

附加题：已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中a²=b²+c²，a＞b＞c＞0，F、F₁、F₂是对应的焦点．
（1）（文）若三角形FF₁F₂是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程．
（2）（理）当|A₁A₂|＞|B₁B₂|时，求的取值范围．

Answer

（1）由三角形FF1F2是边长为1的等边三角形，得出a，b，c的关系，求出a，b，c的值，进而得出“果圆”的方程．
（2）由|A1A2|＞|B1B2|可得a，b，c的二次齐次式，把c用a，b代替，得a，b的二次齐次式，可求出的取值范围．
【解析】
（1）∵F（c，0），，
∴，，
于是，，
所求“果圆”方程为（x≥0）和（x≤0）．
（2）由题意，得a+c＞2b，c＞2b-a，即．
两边平方得a2-b2＞（2b-a）2，得，
又b＞c，b，
∴b2＞c2，b2＞a2-b2，
∴．
∴．