(1)由已知易得的夹角为∠B的补角,由正弦定理,结合△OAC中,,∠OAC=120°,∠AOC=45°,∠OCA=15°,解三角形OAC,易得OB,BC的长,代入向量数量积公式即可求解.
(2)由D是线段BC上的任意点,若=x+y,我们易得x+y=1,(其中0≤x≤1,0≤y≤1),构造函数f(x)=x2y利用导数法确定函数的单调性,进而可求出x2y的最大值.
【解析】
(1)(1分)
在△OAC中,∠OAC=120°,∠AOC=45°,∠OCA=15°,
∴,
即(3分)
故,
,
∵OA=AB=OB=,
故BC=AC+AB=(5分)
∠OBC=60°,可得<,>=120°,
∴=(1-)×(1+)×cos120°=-(7分)
(2)∵D、B、C三点共线,故可设=λ,(0≤λ≤1)(8分)
=(1-λ)+λ,又=y+x,
故x+y=λ+(1-λ)=1,(其中0≤x≤1,0≤y≤1)(10分)
令f(x)=x2y=x2(1-x)=x2-x3(0≤x≤1)(11分)
f'(x)=2x-3x2时,f'(x)=2x-3x2≥0⇒f(x)在区间单调递增,时,f'(x)=2x-3x2≤0⇒f(x)在区间单调递减,(13分)
∴,即x2y的最大值为.(14分)