Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₁₉＞0，S₂₀＜0，且，则在数列{b_n}的前19项中，最大的项是第    项．

Answer

由等差数列的前n项和的公式分别表示出S19＞0，S20＜0，然后再分别利用等差数列的性质得到a10大于0且a11小于0，得到此数列为递减数列，前10项为正，11项及11项以后为负，由已知的不等式得到数列的前1项和，前2项的和，…，前19项的和为正，前20项的和，前21项的和，…，的和为负，所以得到b11及以后的各项都为负，即可得到b10为最大项，即可得到n的值．
【解析】
由S19==19a10＞0，得到a10＞0；由S20==10（a10+a11）＜0，得到a11＜0，
∴等差数列{an}为递减数列．
则a1，a2，…，a10为正，a11，a12，…为负；S1，S2，…，S19为正，S20，S21，…为负，
则＜0，＜0，…，＜0，
又S10＞S1＞0，a1＞a10＞0，得到＞＞0，故b10=最大．
故答案为：10．