(Ⅰ)根据题设条件用累乘法能够求出数列{an}的通项公式.b1=2,bn+1=2bn可知{bn}是首项为2,公比为2的等比数列,由此能求出{bn}的通项公式.
(Ⅱ)bn=2n.假设存在自然数m,使得对于任意n∈N*,n≥2,有恒成立,由此能导出m的最小值.
(Ⅲ)当n是奇数时,,当n是偶数时,,由此能推导出当n是偶数时,求数列{cn}的前n项和Tn.
【解析】
(Ⅰ)因为Sn=n2an(n≥1),
当n≥2时,Sn-1=(n-1)2an-1.
所以an=Sn-Sn-1=n2an-(n-1)2an-1.
所以(n+1)an=(n-1)an-1.
即.
又,
所以==.
当n=1时,上式成立
因为b1=2,bn+1=2bn,
所以{bn}是首项为2,公比为2的等比数列,故bn=2n.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,bn=2n.
则.
假设存在自然数m,使得对于任意n∈N*,n≥2,有恒成立,
即恒成立.
由,解得m≥16.
所以存在自然数m,使得对于任意n∈N*,n≥2,有恒成立.此时m的最小值为16.
(Ⅲ)当n是奇数时,
=(2+4++n+1)+(22+24++2n-1)=
=.
当n是偶数时,
=(2+4++n)+(22+24++2n)==.
因此