Question

已知函数f（x）=x²-2ax+3在区间[0，1]上的最大值是g（a），最小值是p（a）．
（1）写出g（a）和p（a）的解析式．
（2）当函数f（x）的最大值为3、最小值为2时，求实数a的取值范围．

Answer

（1）根据所给的二次函数的性质，写出对于对称轴所在的区间不同时，对应的函数的最大值，是一个分段函数形式，同理写出函数的最小值也是一个分段函数的形式．
（2）当时，g（a）=f（x）max=f（0）=3，p（a）=f（x）min=3-a2=2，解得a=1；当a＞1时，g（a）=f（x）max=f（0）=3，p（a）=f（x）min=4-2a=2，解得a=1（舍），得到结果．
【解析】
（1）f（x）=（x-a）2+3-a2．
当时，g（a）=f（x）max=f（1）=4-2a；
当时，g（a）=f（x）max=f（0）=3；
所以
当a＜0时，p（a）=f（x）min=f（0）=3；
当0≤a＜1时，p（a）=f（x）min=3-a2；
当a≥1时，p（a）=f（x）min=f（1）=4-2a；
所以
（2）当时，g（a）=f（x）max=f（0）=3，p（a）=f（x）min=3-a2=2，
解得a=1；
当a＞1时，g（a）=f（x）max=f（0）=3，p（a）=f（x）min=4-2a=2，解得a=1（舍）．
当时，验证知不符合题意．
所以a=1就是所求值．