Question

将圆x²+y²=4压扁得到椭圆C，方法是将该圆上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左焦点为F₁，右焦点F₂，直线l过点F₁且垂直于椭圆的长轴，点P为直线l上的动点，过点P且垂直于l的动直线l₁与线段PF₂垂直平分线交于点M，求点M的轨迹C′的方程；
（3）设过点（0，-2）但不经过第一象限的直线l₂与椭圆C相交于A、B两点，且（O是坐标原点），求直线l₂的方程．

Answer

（1）在曲线C上任取一个动点（x，y），圆x2+y2=4上的对应点的坐标为（x'，y'），进而根据条件得出，即可求出椭圆方程．
（2）把条件转化为动点M到定点F2（1，0）的距离等于它到直线l：x=-1的距离即可求出点M的轨迹的方程．
（3）当直线的斜率不存在时，不满足题意．当直线的斜率存在时，设l的方程为y=kx-2，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，知x1x2+y1y2=0，由y1=kx1-2，y2=kx2-2，知y1y2=k2x1x2-2k（x1+x2）+4，然后联立直线与圆锥曲线，由此入手能够求出直线的方程．
【解析】
（1）在所求椭圆上C上任取一个动点（x，y），圆x2+y2=4上的对应点的坐标为（x'，y'）
由题意可得 
∵x'2+y'2=4．
∴x2+y2=4
∴椭圆的方程为
（2）由条件，知|MF2|=|MP|，
即动点M到定点F2（1，0）的距离等于它到直线l：x=-1的距离，
由抛物线的定义得点M的轨迹的方程是y2=4x．
（3）当直线的斜率不存在时，不满足题意．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为y=kx-2，设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵，
∴x1x2+y1y2=0，
∵y1=kx1-2，y2=kx2-2，∴y1y2=k2x1x2-2k（x1+x2）+4，
∴（1+k2）x1x2-2k（x1+x2）+4=0．①
由方程组
得（3+4k2）x2-16kx+4=0．
则x1+x2=，x1x2=，
代入①，得（1+k2）•-2k•+4=0，
即3k2=4，解得k=或k=-，
∵直线不经过第一象限，且k=-时，△＞0
∴k=-满足条件，
∴直线的方程是y=-x-2．