Question

在中华人民共和国成立60周年的国庆盛典中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂，如果烟花距地面高h米与时t秒之间的关系为h（t）=-2t²+4t+19．
（1）烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少？
（2）当烟花在最高点爆裂时，位于烟花正东方的观众甲观赏烟花的仰角是45°，位于南偏西60°的观众乙观赏烟花的仰角是30°，求这时观众甲和观众乙相距多远（观众的身高忽略不记）？

Answer

（1）把实际问题转化为数学问题，就是求二次函数自变量是多少时取最大值，最大值是多少，把式子写为顶点式即可；
（2）画出简图，分析已知量，要求的量为PA、PB的长度，在直角三角形中用正切来求，用余弦定理可得要求的量．
【解析】
（1）h（t）=-2t2+4t+19=-2+25，
当t=时，h（t）取得最大值25．
∴烟花冲出后秒是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度是25米．
（2）如图：A，B两点分别表示观众和甲观众乙所在位置，
点P表示烟花所在的最高点，PO表示烟花距地面的高度．

显然PO⊥平面AOB，∴PO⊥AO，PO⊥BO，
由已知PO=25，∠PAO=45°，∠PBO=30°，
∠AOB=60°+90°=150°．
∴0A==PO=25，OB===25．
在△AOB中，由余弦定理得
AB2=AO2+BO2-2AO•BO•cos∠AOB
=252+-2×25×25×cos150°
=252×7
∴AB=25，
∴这时观众甲和观众乙相距25米．