Question

在五面体ABCDEF中，AD∥BE∥CF，且AD⊥平面ABC，H为CF的中点，G为AB上的一点，AG=λAB（0＜λ＜1），其俯视图和侧视图分别如下．
（1）试证：当λ=时，AB⊥GH且GH∥平面DEF；  
（2）对于0＜λ＜1的任意λ，是否总有GH且GH∥平面DEF？若是，请予以证明；若否，请说明理由．

Answer

（1）当λ=时，G为AB的中点，取DE的中点M，连接FM，MG，易证明FMGH为平行四边形，进而得到FM∥GH，由线面平行的判定定理，可得GH∥平面DEF；由等腰三角形三线合一的性质及AD⊥平面ABC，结合线面垂直的判定定理，可得AB⊥GH．
（2）根据已知易证平面ABH∥平面DEF，故可得对于0＜λ＜1的任意λ，总有GH∥平面DEF．
证明：（1）当λ=时，G为AB的中点，取DE的中点M，连接FM，MG，
根据三视图，我们易得FH∥MG，且FH=MG
即四边形GHFM为平行四边形，
则GH∥MF
又MF⊂平面DEF，GH⊄平面DEF
∴GH∥平面DEF
∵△ABC为等腰三角形
∴CG⊥AB
又∵AD∥CF，且AD⊥平面ABC
∴HC⊥平面ABC，∴HC⊥AB
又∵CG∩HC=C
∴AB⊥平面CGH
GH⊂平面CGH
∴AB⊥GH
（2）∵FH=GM=AD=BE且FH∥GM∥AD∥BE
∴四边形AHFD与四边形BEFH均为平行四边形
则AH∥DF，BH∥EF
∵AH∩BH=H，DF∩EF=F
∴平面DEF∥平面AHB
又∵HG⊂平面AHB
∴HG∥平面DEF
故对于0＜λ＜1的任意λ，总有GH且GH∥平面DEF