本题考查的是数列与不等式的综合类问题.在解答时:
(Ⅰ)首先由bn=a2n可推得:从而获得数列{bn}是首项和公比都为的等比数列,进而用等比数列的通项公式即可获得问题的解答;
(Ⅱ)利用第一问的结论再结合等比数列的前n项和公式可得:(n≥2).又因为:对任意n∈N*且n≥2,不等式λ≥1+Sn-1恒成立,
则λ大于等于1+Sn-1的最大值,故λ的取值范围是即可解答;
(Ⅲ)首先利用第一问的结论对Cn进行化简,然后利用作差法即可获得数列在不同范围上的单调性,进而求得数列{cn}的最大值.
【解析】
(Ⅰ)因为bn=a2n,由已知可得,
=.
又a1=1,则.
所以数列bn是首项和公比都为的等比数列,
故.
∴数列{bn}为等比数列,并求其通项公式为:.
(Ⅱ)因为=(n≥2).
若对任意n∈N*且n≥2,不等式λ≥1+Sn-1恒成立,
则λ≥2,故λ的取值范围是[2,+∞).
(Ⅲ)因为,则
=.
当n<9时,cn+1-cn>0,即cn<cn+1;
当n=9时,cn+1-cn=0,即cn=cn+1;
当n>9时,cn+1-cn<0,即cn>cn+1.
所以数列cn的最大项是c9或c10,
且,故.