Question

如图，一水渠的横断面是抛物线形，O是抛物线的顶点，口宽EF=4米，高3米
（1）建立适当的直角坐标系，求抛物线方程．
（2）现将水渠横断面改造成等腰梯形ABCD，要求高度不变，只挖土，不填土，求梯形ABCD的下底AB多大时，所挖的土最少？

Answer

（1）如图以O为原点，AB所在的直线为X轴，建立平面直角坐标系，此模型是一个开口向上的抛物线，由题设条件求出其方程即可
（2）求出抛物线的切线，表示成梯形上下底的宽度，利用面积公式表示出梯形的面积，再根据所得的解析式，求出面积的最小值，求出面积最小时AB的宽度即可
【解析】
（1）【解析】
如图以O为原点，AB所在的直线为X轴，建立平面直角坐标系，
则F（2，3），设抛物线的方程是x2=2py（p＞0）
因为点F在抛物线上，所以4=2p×3，p=
所以抛物线的方程是（5分）
（2）【解析】
等腰梯形ABCD中，AB∥CD，线段AB的中点O是抛物线的顶点，AD，AB，BC分别与抛物线切于点M，O，N
y'=x，设N（x，y），x＞0，，
则抛物线在N处的切线方程是y-y=，所以，（10分）
梯形ABCD的面积是S==≥6，等号当且仅当时成立，
答：梯形ABCD的下底AB=米时，所挖的土最少（12分）