Question

抛物线C：y²=2px（p＞0）上横坐标为3的点到焦点F的距离为4
（I）求p的值；
（Ⅱ）过抛物线焦点F的直线l与抛物线C交于A、B两点．若|AB|=8，求直线AB的方程．

Answer

（I）先利用抛物线的方程求得准线方程，根据点到抛物线焦点的距离为3利用抛物线的定义推断出点到准线的距离也为3，利用3+=4求得p．
（II）由（1）得抛物线的方程．设AB的倾斜角为θ，则 ，所以k=tanθ=±1，直线l的方程是x±y-1=0．
【解析】
（I）根据抛物线方程可知准线方程为x=-，
∵横坐标为2的点到抛物线焦点的距离为3，根据抛物线的定义可知其到准线的距离为3
∴2+=3，p=2
故p为：2
（II）抛物线y2=4x，
∵过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，AB=8，
设AB的倾斜角为θ，
则 ，
∴，
∴k=tanθ=±1，
∴直线AB的方程是x±y-1=0．