①b=0时,函数是奇函数,可知①正确;
②当b≠0时,f(x)不具有奇偶性,故②不正确;
③令a=0,b=-2,则f(x)=|x|x-2,此时f(0)=f(2)=2,但f(x)=|x|x-2x是奇函数,其图象不关于x=1对称;故③错;
④根据图象的平移变换可知函数f(x)=|x|x-2ax+b(x∈R)的对称中心为(0.b),因此可知④正确.
【解析】
①b=0时,函数是奇函数,可知①正确;
②当b≠0时,f(x)不具有奇偶性;故②错;
③令a=1,b=0,则f(x)=|x|x-2x
此时f(0)=f(2)=2,
但f(x)=|x|x-2x是奇函数,其图象不关于x=1对称;故③错;
④f(x)=|x|x-2ax+b=,它的对称中心为(0.b),
因此f(x)在(a,+∞)上单调递增,故④正确.
故答案为:①④.