Question

四棱锥P-ABCD中，AD⊥面PAB，BC⊥面PAB，底面ABCD为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，∠APD=∠CPB，满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是（ ）
A．圆的一部分
B．椭圆的一部分
C．球的一部分
D．抛物线的一部分

Answer

以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，写出点A，B的坐标，根据条件得出Rt△APD∽Rt△CPB，
进而得出
AP
BP

=
AD
BC

=
4
8

=
1
2

，设出点P的坐标，利用两点间的距离公式，代入上式化简，根据轨迹方程，即可得到结论．
【解析】
在平面PAB内，
以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．
设点P（x，y），则由题意可得 A（-3，0），B（3，0）．
∵AD⊥α，BC⊥α，AD=4，BC=8，AB=6，∠APD=∠CPB，
∴Rt△APD∽Rt△CPB，
∴．
即 BP2=4AP2，故有（x-3）2+y2=4[（x+3）2+y2]，
整理得：（x+5）2+y2=16，表示一个圆．
由于点P不能在直线AB上（否则，不能构成四棱锥），
故点P的轨迹是圆的一部分，
故选A．