Question

已知数列{a_n}是首项为a₁=，公比q=的等比数列，设b_n+2=3a_n（n∈N^*），数列{c_n}满足c_n=a_n•b_n．
（Ⅰ）求{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若c_n≤m²+m-1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（Ⅰ）根据首项与公比，利用等比数列的通项公式写出数列{an}的通项公式，代入到bn+2=3an中，根据对数的运算性质化简即可求出{bn}的通项公式；
（Ⅱ）把第一问求出的两数列的通项公式代入cn=an•bn中，确定出cn的通项公式，表示出cn+1-cn，判断得到其差小于0，故数列{cn}为递减数列，令n=1求出数列{cn}的最大值，然后原不等式的右边大于等于求出的最大值，列出关于m的一元二次不等式，求出不等式的解集即为实数m的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）由题意知，an=（n∈N*），
易得bn=3an-2=3n-2；
（Ⅱ）cn=an•bn=（3n-2）•，
∴cn+1-cn=（3n+1）•-（3n-2）•=9（1-n）•（n∈N*），
∴当n=1时，c2=c1=，
当n≥2时，cn+1＜cn，即c1=c2＞c3＞c4＞…＞cn，
∴当n=1时，cn取最大值是，又cn≤m2+m-1对一切正整数n恒成立，
∴m2+m-1≥，即m2+4m-5≥0，
解得：m≥1或m≤-5．