Question

设数列{a_n}是公比大于1的等比数列，S_n为其前n项和，已知S₃=7且a₁+3、3a₂、a₃+4成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=lna_2n+1（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）求a₂+a₅+a₈+…+a_3n-1+…+a_3n+8的表达式．

Answer

（1）利用等差数列的通项公式及等差中项，列出关于首项与公差的方程组，求出首项、公差代入通项公式即得数列{an}的通项公式．
（2）将a2n+1代入bn，利用等差数列的定义判断出数列{bn}是等差数列，利用等差数列的前n项和公式求出Tn．
（3）利用等差数列的性质：间隔相同的项取出的项仍为等差数列，利用等差数列的前n项和公式求出和．
【解析】
（1）解得a2=2
设公比为q则
解得q=2或q=（舍去），
所以a1=1，q=2
∴an=2n-1
（2）bn=ln22n=2nln2
∴bn+1-bn=2ln2
∴数列{bn}是公差为2ln2的等差数列
∴
（3）a2，a5，a8…a3n+8是首项为a2，公比为8，项数为n+3项的等比数列
∴a2+a5+a8+…+a3n+8=