Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=an+2ⁿ
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=n（1+a_n），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）利用an+1=an+2n，求出a2=a1+2，a3=a2+22，a4=a3+23，an=an-1+2n-1（n≥2），然后各式相加即可求出{an}的通项公式．
（2）由bn=n（1+an），求出bn=n•2n，Sn=2+2•22+3•23++n•2n和2Sn=22+2•23++（n-1）•2n+n•2n+1，两式相减即可求出Sn．
【解析】
（1）∵a2=a1+2，a3=a2+22，a4=a3+23，
an=an-1+2n-1（n≥2）
相加，得an=a1+2+22+…+2n-1=2n-1，
又a1=1符合上式
∴an=2n-1，
（2）bn=n•2n，Sn=2+2•22+3•23++n•2n，
2Sn=22+2•23++（n-1）•2n+n•2n+1，
∴Sn=-（2+22+23++2n）+n•2n+1=2-2n+1+n•2n+1 ．