Question

已知函数f（x）=x²+mx+n的图象过点（1，3），且f（-1+x）=f（-1-x）对任意实数都成立，函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于原点对称．
（1）求f（x）与g（x）的解析式；
（2）若F（x）=g（x）-λf（x）在[-1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．

Answer

（1）将点的坐标代入函数解析式得到一个方程；利用函数满足的等式得到函数的对称轴，据二次函数的对称轴公式列出方程求出m，n；求出f（x）的解析式；利用相关点法求出g（x）的解析式．
（2）利用函数在区间上单调，则导函数大于等于0恒成立，列出恒成立的不等式，分离参数，转化成求函数的最值
【解析】
（1）由题意知：1+m+n=3对称轴为x=-1故
解得m=2，n=0，
∴f（x）=x2+2x，
设函数y=f（x）图象上的任意一点Q（x，y）关于原点的对称点为P（x，y），
则x=-x，y=-y，因为点Q（x，y）在y=f（x）的图象上，
∴-y=x2-2x，
∴y=-x2+x，
∴g（x）=-x2+2x．
（2）F（x）=-x2+2x-λ（x2+2x）=-（1+λ）x2+2（1-λ）x
∵F（x）在（-1，1]上是增函且连续，F'（x）=-2（1+λ）x+2（1-λ）≥0
即在（{-1，1}]上恒成立，
由在（-1，1]上为减函数，
当x=1时取最小值0，故λ≤0，所求λ的取值范围是（-∞，0]，