Question

定义在（-1，1）的函数f（x）满足：①对任意x，y∈（-1，1）都有f（x）+f（y）=；②当0＜x＜1时，f（x）＞0．回答下列问题．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）判断函数f（x）在（-1，1）上的单调性，并说明理由；
（3）若，试求的值．

Answer

（1）判断函数f（x）的奇偶性：①判断函数定义域是否关于原点对称，②判断f（-x）与f（x）的关系．
（2）证明函数f（x）的单调性，利用定义，分五步①设元，②作差，③变形，④判号，⑤下结论．
（3）利用题中所给的等式，把要求的已知的相结合，逐步求出要求的值．
【解析】
（1）函数定义域为（-1，1）．令x=y=0得f（0）=0，
令y=-x，则有f（x）+f（-x）=0，得f（-x）=-f（x），
所以函数f（x）在区间（-1，1）上是奇函数．（3分）
（2）设-1＜x1＜x2＜1，
则
而x2-x1＞0，|x1||x2|＜1
∴1-x1x2＞0
∴，
又因为1-x2＞0，1+x1＞0
∴（1-x2）（1+x1）=1-x1x2-x2+x1＞0，即
∴，
所以．即当x1＜x2时，f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在区间（-1，1）上是单调递增函数．（8分）
（3）由于即
∵即
∵即
又∵
∴
∴（14分）