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已知函数f(x)=ax2+ax和g(x)=x-a.其中a∈R且a≠0. (1)若...

已知函数f(x)=ax2+ax和g(x)=x-a.其中a∈R且a≠0.
(1)若函数f(x)与g(x)的图象的一个公共点恰好在x轴上,求a的值;
(2)若p和q是方程f(x)-g(x)=0的两根,且满足manfen5.com 满分网,证明:当x∈(0,p)时,g(x)<f(x)<p-a.
(1)令g(x)=0求出x的值,写出与x轴交点的坐标,将此坐标代入到f(x)解析式中,得到关于a的方程,由a不为0,求出a的值即可; (2)由p和q是方程f(x)-g(x)=0的两根,设出f(x)-g(x)=a(x-p)(x-q),然后根据已知的p与q的范围,判定得到a(x-p)(x-q)大于0,即可得到f(x)大于g(x);由f(x)-g(x)=a(x-p)(x-q),以及g(x)=x-a,表示出f(x),代入f(x)-(p-a)中,因式分解后,判定其积小于0,从而得到f(x)小于p-a,得证. 【解析】 (1)设函数g(x)图象与x轴的交点坐标为(a,0),(2分) ∵点(a,0)也在函数f(x)的图象上,∴a3+a2=0.(4分) 而a≠0,∴a=-1. (6分) (2)由题意可知f(x)-g(x)=a(x-p)(x-q).(8分) 当x∈(0,p)时,∵, ∴a(x-p)(x-q)>0, 即当x∈(0,p)时,f(x)-g(x)>0,即f(x)>g(x).(10分) 又f(x)-(p-a)=a(x-p)(x-q)+x-a-(p-a)=(x-p)(ax-aq+1), 当x∈(0,p)时,x-p<0,且ax-aq+1>1-aq>0, ∴f(x)-(p-a)<0, ∴f(x)<p-a, 综上可知,g(x)<f(x)<p-a.(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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