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已知函数f(x)=[3ln(x+2)-ln(x-2)] (I) 求x为何值时,f...

已知函数f(x)=manfen5.com 满分网[3ln(x+2)-ln(x-2)]
(I) 求x为何值时,f(x)在[3,7]上取得最大值;
(Ⅱ)设F(x)=aln(x-1)-f(x),若F(x)是单调递增函数,求a的取值范围.
(I)先求出函数的定义域,然后对函数进行求导运算,令导函数等于0求出x的值,再判断函数的单调性,进而可求出最大值. (Ⅱ)对函数f(x)进行求导,然后令导函数大于等于0在R上恒成立即可求出a的范围 【解析】 (Ⅰ)f′(x)=[-]= ∴当2<x<4时,f′(x)<0,当x>4时,f′(x)>0 ∴f(x)在(2,4)上是减函数,在(4,+∞)上是增函数 ∴f(x)在[3,7]上的最大值应在端点处取得,又f(3)-f(7)=[3ln5-ln1]-[ln625-ln729]<0, ∴f(3)<f(7)即当x=7时,f(x)取得在[3,7]上的最大值 (Ⅱ)∵F(x)是单调递增函数,∴F′(x)≥0恒成立 又F′(x)== 在f(x)的定义域(2,+∞)上,有(x-1)(x2-4)>0恒成立. ∴F′(x)≥0⇔(a-1)x2+5x-4(a+1)≥0在(2,+∞)上恒成立.…(10分) 下面分情况讨论(a-1)x2+5x-4(a+1)>0在(2,+∞)上恒成立时,a的解的情况. 当a-1<0时,显然不可能有(a-1)x2+5x-4(a+1)≥0在(2,+∞)上恒成立. 当a-1=0时(a-1)x2+5x-4(a+1)=5x-8>0在(2,+∞)上恒成立. 当a-1>0时,又有两种情况:①52+16(a-1)(a+1)≤0; ②2且(a-1)-22+5×2-4(a+1)≥0 由①得16a2+9≤0,无解;由②得a≥-,a-1>0,∴a>1 综上所述各种情况,当a≥1时(a-1)x2+5x-4(a+1)≥0在(2,+∞)上恒成立. ∴所求的a的取值范围为[1,+∞).
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考点分析:
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manfen5.com 满分网,则实数m的取值范围    查看答案
试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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