Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥DC，∠ABC=∠CAD=90°，且PA=AB=BC，点E是棱PB上的动点．
（Ⅰ）当PD∥平面EAC时，确定点E在棱PB上的位置；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求二面角A-CE-P余弦值．

Answer

（I）以线面平行为条件，根据线面平行的性质得到线线平行，根据平行线分线段成比例定理，得到比值．
（II）以A为原点，AB，AP所在直线分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系，写出要用的点的坐标，设出并求出平面的法向量，根据向量所成的角，得到二面角的余弦值．
【解析】
（Ⅰ）在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB=BC，得∠BAC=，
∴∠DCA=∠BAC=．又AC⊥AD，故△DAC为等腰直角三角形．
∴DC=AC=（AB）=2AB．
连接BD，交AC于点M，则
∵PD∥平面EAC，又平面EAC∩平面PDB=ME，∴PD∥EM
在△BPD中，，
即PE=2EB时，PD∥平面EAC
（Ⅱ）以A为原点，AB，AP所在直线分别为y轴、z轴，
如图建立空间直角坐标系．
设PA=AB=BC=a，则A（0，0，0），B（0，a，0），
C（a，a，0），P（0，0，a），E（0，，）．
设，为平面EAC的一个法向量，
则⊥，⊥，
∴，解得x=，y=-，
∴=（，-，1）．
设=（，，1）为平面PBC的一个法向量，
则⊥，⊥，
又=（a，0，0），=（0，-a，a），
∴，解得x′=0，y′=1，
∴=（0，1，1）．∴cos，＞
∴二面角A-CE-P的余弦值为．