Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB=1，P、Q分别是侧棱BB₁、CC₁上的点，且使得折线APQA₁的长AP+PQ+QA₁最短．
（1）证明：平面APQ⊥平面AA₁C₁C；
（2）求直线AP与平面A₁PQ所成角的余弦值．

Answer

对于（1），由正三棱柱ABC-A1B1C1表面最短距离的求法，使用侧面展开图可以确定P、Q的具体位置，然后在平面APQ内找一条平面AA1C1C的垂线即可；
对于（2），求线面角，法一：由（1），可以确定直线AP的射影，即为A1P，从而∠APA1是直线AP与平面A1PQ所成的角，因此在一个平面AA1B1B中，三角形APA1的三边都可以计算，由余弦定理可以求之；
法二：可以取BC中点O为原点，OA为x轴，OC为y轴，建立空间直角坐标系O-xyz，这样点A、A1、P、Q都可以用坐标表示，求出平面A1PQ的一个法向量，然后通过向量与向量AP的夹角来计算亦可．
【解析】
（1）∵正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=1，
∴将侧面展开后，得到一个由三个正方形拼接而成的矩形A′A1′A1″A″

而，折线APQA1的长AP+PQ+QA1最短，当且仅当A'、P、Q、A″点共线，
∴P、Q分别是BB1、CC1上的三等分点，其中．（2分）
（注：直接正确指出点P、Q的位置，不扣分）
连接AQ，取AC中点D，AQ中点E，连接BD、DE、EP．

由正三棱柱的性质，平面ABC⊥平面AA1C1C，
而BD⊥AC，BD⊂平面ABC，
平面ABC∩平面AA1C1C=AC，
∴BD⊥平面AA1C1C．（4分）
又由（1）知，，
∴四边形BDEP是平行四边形，从而PE∥BD．
∴PE⊥平面AA1C1C．
而PE⊂平面APQ，∴平面APQ⊥平面AA1C1C．（8分）
（2）（法一）由（1），同理可证，平面A1PQ⊥平面AA1B1B．（10分）
而AP⊂平面AA1B1B，平面A1PQ∩平面AA1B1B=AP，
∴A1P即为AP在平面A1PQ上的射影，
从而∠APA1是直线AP与平面A1PQ所成的角．（12分）

在△APA1中，AA1=1，，，
由余弦定理，，
即直线AP与平面A1PQ所成角的余弦值为．（14分）
（法二）取BC中点O为原点，OA为x轴，OC为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，
由（1）及正三棱柱的性质，可求得：

，，，．
从而，，．（10分）
设平面A1PQ的一个法向量为n=（x，y，z），
则，所以，
即，解之，得，（12分）
取z=-3，得，y=1，∴．
从而，
即直线AP与平面A1PQ所成角的正弦值为，

∴直线AP与平面A1PQ所成角的余弦值为．（14分）