如图所示，在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱CC1的中点．...

如图所示，在棱长为4的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E是棱CC₁的中点．
（I）求三棱锥D₁-ACE的体积；
（II）求异面直线D₁E与AC所成角的余弦值；
（III）求二面角A-D₁E-C的正弦值．

（I）利用，求出底面D1CE的面积，然后求三棱锥D1-ACE的体积；（II）取DD1的中点F，连接FC，说明∠FCA即为异面直线D1E与AC所成角或其补角，解三角形CEF，求异面直线D1E与AC所成角的余弦值；（III）过点D作DG⊥D1E于点G，连接AG，说明∠AGD为二面角A-D1E-C的平面角，解△AGD，求二面角A-D1E-C的正弦值．【解析】（I）（II）取DD1的中点F，连接FC，则D1E∥FC， ∴∠FCA即为异面直线D1E与AC 所成角或其补角．， ∴ ∴异面直线D1E与AC所成角的余弦值为（III）过点D作DG⊥D1E于点G，连接AG，由AD⊥面D1DCC1， ∴AD⊥D2E 又∵DG⊥D1E，∴D1E⊥面ADG ∴D1E⊥AG，则∠AGD为二面角A-D1E-C的平面角 ∵D1E•DG=DD1•CD，∴ ∴，二面角A-D1E-C的正弦值为

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等