Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=（n∈N）．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设： 求数列{b_nb_n+1}的前n项的和T_n；
（3）已知P=（1+b₁）（1+b₃）（1+b₅）…（1+b2_n-1），求证：Pn＞．

Answer

（1）由an+1=得：且，所以 ，由此得．
（2）由得：，∴，从而：，由裂项求和法能得到数列{bnbn+1}的前n项的和Tn．
（3）由Pn=（1+b1）（1+b3）（1+b5）…（1+b2n-1）=，（4n）2＜（4n）2-1，知，由此能够证明Pn＞．
【解析】
（1）由an+1=得：且，
所以知：数列{}是以1为首项，以2为公差的等差数列，
所以 ，得．
（2）由得：，∴，
从而：，
则 Tn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1=
=（1-）+（）+（）+…+（）
=1-．
（3）已知Pn=（1+b1）（1+b3）（1+b5）…（1+b2n-1）=，
∵（4n）2＜（4n）2-1，∴
设：，则Pn＞Tn
从而：，
故：Pn＞．