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设 x=0是函数f(x)=(x2+ax+b)ex(x∈R)的一个极值点. (1)...

设 x=0是函数f(x)=(x2+ax+b)ex(x∈R)的一个极值点.
(1)求 a与b的关系式(用a表示b),并求f(x)的单调区间;
(2)设 a>0,g(x)=-(a2-a+1)ex+2,问是否存在ξ1,ξ2∈[-2,2],使得|f(ξ1)-g(ξ2)|≤1成立?若存在,求 a的取值范围;若不存在,说明理由.
(1)先求出其导函数,把x=0直接代入导函数即可求出a与b的关系式b=-a;再求出其导函数f'(x)=[x2+(a+2)x]ex=x(x+a+2)ex,以及导数为0的根0和-a-2,讨论两根的大小即可求出f(x)的单调区间; (2)先由 a>0求出f(x)与g(x)在[-2,2]上的单调性以及值域,再利用在[-2,2]上,fmin(x)-gmax(x)=-a+(a2-a+1)=(a-1)2≥0,即可得a所满足的不等式,解不等式即可求a的取值范围. 【解析】 (1)f'(x)=[x2+(a+2)x+a+b]ex(2分) 由f'(0)=0,得b=-a(4分) ∴f(x)=(x2+ax-a)ex f'(x)=[x2+(a+2)x]ex=x(x+a+2)ex. 令f'(x)=0,得x1=0,x2=-a-2 由于x=0是f(x)极值点,故x1≠x2,即a≠-2 当a<-2时,x1<x2,故f(x)的单调增区间是(-∞,0]和[-a-2,+∞),单调减区间是[0,-a-2](6分) 当a>-2时,x1>x2,故f(x)的单调增区间是(-∞,-a-2]和[0,+∞),单调减区间是[-a-2,0](8分) (2)当a>0时,-a-2<-2,f(x)在[-2,0]上单调递减,在[0,2]上单调递增, 因此f(x)在[-2,2]上的值域为[f(0),max[f(-2),f(2)]]=[-a,(4+a)e2](10分) 上单调递减, 所以值域是[-(a2-a+1)]e4,-(a2-a+1)](12分) 因为在[-2,2]上,fmin(x)-gmax(x)=-a+(a2-a+1)=(a-1)2≥0(13分) 所以,a只须满足,解得0<a≤2 即当a∈(0,2]时,存在ξ1、ξ2∈[-2,2]使得|f(ξ1)-g(ξ2)|≤1成立.(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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