Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1，等差数列{b_n}满足b₃=3，b₅=9，（1）分别求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若对任意的n∈N^*，恒成立，求实数k的取值范围．

Answer

（1）仿写一个等式，两式相减得到数列{an}的递推关系，判断出数列{an}是等比数列；利用等差数列及等比数列的通项公式分别求出数列{an}，{bn}的通项公式．
（2）利用等比数列的前n项和公式求出Sn，分离出参数k，构造新数列{cn}，利用后一项减去前一项，
判断出数列{cn}的单调性，求出它的最大值，求出k的范围．
【解析】
（1）由an+1=2Sn+1①
得an=2Sn-1+1②，
①-②得an+1-an=2（Sn-Sn-1），
∴an+1=3an（n≥2）
又a2=3，a1=1也满足上式，
∴an=3n-1；（3分）
b5-b3=2d=6∴d=3
∴bn=3+（n-3）×3=3n-6；（6分）
（2），
∴对n∈N*恒成立，
∴对n∈N*恒成立，（8分）
令，，
当n≤3时，cn＞cn-1，当n≥4时，cn＜cn-1，（10分）
，
所以实数k的取值范围是（12分）