Question

已知函数f（x）=．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设g（x）=x²+mx，h（x）=e^x-1，若在（0，+∞）上至少存在一点x，使得g（x）＞h（x）成立，求m的范围．

Answer

（Ⅰ）可求得f′（x），令f′（x）＞0可求得其单调递增区间，由f′（x）＜0可求得其单调递减区间；
（Ⅱ）依题意，m＞（x＞0）有解，构造函数φ（x）=（x＞0），问题转化为m＞φ（x）min即可，利用φ′（x）可求得φ（x）min，从而可得m的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）∵f′（x）=，
∴由f′（x）＞0得：0＜x＜2；
由f′（x）＜0得：x＜0或x＞2；
∴f（x）在（-∞，0），（2，+∞）上单调递减，在（0，2）上单调递增；
（Ⅱ）在（0，+∞）上至少存在一点x，使得g（x）＞h（x）成立，即不等式g（x）＞h（x）在（0，+∞）有解，
即：m＞（x＞0）有解，
记φ（x）=（x＞0），则m＞φ（x）min，
φ′（x）==，
令t（x）=ex-x-1，t′（x）=ex-1，
∵x＞0，
∴ex＞1，
∴t′（x）＞0，
∴t（x）＞t（0）=0，
∴φ（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，
∴φ（x）min=φ（1）=e-2，
∴m的取值范围是（e-2，+∞）．