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四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,E为AD的中点,ABCE为菱形,∠BA...

四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,E为AD的中点,ABCE为菱形,∠BAD=120°,PA=AB,G、F分别是线段CE、PB的中点.
(Ⅰ) 求证:FG∥平面PDC;
(Ⅱ) 求二面角F-CD-G的正切值.

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(I)连接BD与CE交于点G′,利用平行线分线段成比例定理可证明G′与点G重合.同理证明FG∥PD,利用线面平行的判定定理即可证明结论; (II)通过建立空间直角坐标系,利用两个平面的法向量即可得出二面角的平面角. 证明:(I)连接BD与CE交于点G′,∵E为AD的中点,ABCE为菱形, ∴,得到G′为线段CE的中点,故G′与点G重合. ∵,∴FG∥PD, 又∵FG⊄平面PDC,PD⊂平面PDC. ∴FG∥平面PDC. (II)不妨设AB=2,则P (0,0,2),B,F,C,D(0,4,0). ∴,. 设平面CDF的法向量为,则,令x=,则y=1,z=3, ∴. 取作为平面GCD的法向量, 则==,即为二面角的余弦值. 设二面角的平面角为θ,则,=,∴tanθ=. ∴二面角F-CD-G的正切值为.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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