Question

已知{a_n}是递增的等差数列，a₁=2，=a₄+8
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=a_n+，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer

（Ⅰ）设等差数列的公差为d，d＞0，依题意可得（2+d）2=2+3d+8，解得d，而a1=2，可求得数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得an=2n，从而得bn=2n+22n，利用分组求和的方法即可求得数列{bn}的前n项和Sn．
【解析】
（Ⅰ）设等差数列的公差为d，d＞0，
∵a1=2，=a4+8
∴（2+d）2=2+3d+8，
∴d2+d-6=0，
解得d=2或d=-3（舍），…（3分）
∴d=2…（5分）
代入：an=a1+（n-1）d=2+（n-1）×2=2n，
∴数列{an}的通项公式为：an=2n …（7分）
（Ⅱ）∵bn=an+=2n+22n …（9分）
∴数列{bn}的前n项和：
Sn=b1+b2+…+bn=（2+22）+（4+24）+…+（2n+22n）
=（2+4+…+2n）+（22+24+…+22n））…（11分）
=+
=n（n+1）+   …（14分）