Question

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AA₁=AB=AC=l，AB⊥AC，M是CC₁的中点，N是BC的中点，K是AC中点，点P在直线A₁B₁上，且满足
（Ⅰ）求证：PN⊥AM；
（Ⅱ）求三棱锥P-MNK的体积．

Answer

（Ⅰ）通过证明AB⊥平面ACC1A1，说明AB⊥AM，证明AM⊥NK，然后证明AM⊥平面A1KNP，即可求证：PN⊥AM；
（Ⅱ）通过AB∥NK，所以A1B1∥NK，则P到平面MNK的距离是定值，利用四面体体积不变，转化顶点是方法，采用等体积求三棱锥P-MNK的体积．
【解析】
（Ⅰ）因为AC中点为K，则N，K，A1，P四点在一个平面内，
由于AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥AB，又AB⊥AC，所以AB⊥平面ACC1A1，所以AB⊥AM，
所以AB⊥AM，又AB∥NK，所以AM⊥NK，
在正方形中，利用相似可知AM⊥A1K，
故AM⊥平面A1KNP，
所以PN⊥AM；
（Ⅱ）因为K是AC的中点，所以AB∥NK，所以A1B1∥NK，则P到平面MNK的距离是定值，等于A1到MNK的距离，
三棱锥P-MNK的体积与三棱锥N-MA1K的体积相等．有（1）知AB⊥平面ACC1A1，N到平面ACC1A1，的距离为，
MA1K的面积为：1--=，
所以三棱锥N-MA1K的体积为：=，
所求棱锥的体积为：．