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已知数列{an}中,a1=3,a2=5,其前n项和Sn满足Sn+Sn-2=2Sn...

已知数列{an}中,a1=3,a2=5,其前n项和Sn满足Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1(n≥3).令bn=manfen5.com 满分网
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若f(x)=2x-1,求证:Tn=b1f(1)+b2f(2)+…+bnf(n)<manfen5.com 满分网(n≥1).
(Ⅰ)由题意知an=an-1+2n-1(n≥3)(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+a2=2n+1. (Ⅱ)由于=.故Tn=b1f(1)+b2f(2)+…+bnf(n) =,由此可证明Tn=b1f(1)+b2f(2)+…+bnf(n)<(n≥1). 【解析】 (Ⅰ)由题意知Sn-Sn-1=Sn-1-Sn-2+2n-1(n≥3) 即an=an-1+2n-1(n≥3) ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+a2 =2n-1+2n-2+…+22+5 =2n+1(n≥3) 检验知n=1、2时,结论也成立,故an=2n+1. (Ⅱ)由于 = =. 故Tn=b1f(1)+b2f(2)+…+bnf(n) = =.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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