Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD上⊥平面ABCD，AD⊥CD，且BD平分∠ADC，E为PC的中点，AD=CD=l，BC=PC，DB=2
（Ⅰ）证明PA∥平面BDE；
（Ⅱ）证明AC⊥平面PBD：
（Ⅲ）求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer

（Ⅰ）设AC∩BD=H，连接EH，说明H为AC的中点，证明EH∥PA，利用直线与平面平行的判定定理证明PA∥平面BDE；
（Ⅱ）通过直线与平面垂直证明PD⊥AC，然后证明AC⊥平面PBD：
（Ⅲ）求出SABCD，然后求四棱锥P-ABCD的体积．
（Ⅰ）证明：设AC∩BD=H，连接EH，
在△ADC中，因为AD=CD，且DB平分∠ADC，
所以H为AC的中点，
又E为PC的中点，从而EH∥PA，
因为HE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，
所以PA∥平面BDE；
（Ⅱ）证明：因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC，
由（I）知BD⊥AC，PD∩BD=D，PD⊂平面PBD，BD⊂平面PBD，
从而AC⊥平面PBD：
（Ⅲ）【解析】
在△BCD中，DC=1，DB=2，∠BDC=45°
得BC2=12+（2）2-2×1×cos45°=5，
∴BC=．
在Rt△PDC中，PC=BC=，DC=1，从而PD=2，
SABCD=2S△BCD=2，故四棱锥P-ABCD的体积VP-ABCD=．