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如图,在四棱锥P-ABCD中,PD上⊥平面ABCD,AD⊥CD,且BD平分∠ADC,E为PC的中点,AD=CD=l,BC=PC,DB=2manfen5.com 满分网
(Ⅰ)证明PA∥平面BDE;
(Ⅱ)证明AC⊥平面PBD:
(Ⅲ)求四棱锥P-ABCD的体积.

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(Ⅰ)设AC∩BD=H,连接EH,说明H为AC的中点,证明EH∥PA,利用直线与平面平行的判定定理证明PA∥平面BDE; (Ⅱ)通过直线与平面垂直证明PD⊥AC,然后证明AC⊥平面PBD: (Ⅲ)求出SABCD,然后求四棱锥P-ABCD的体积. (Ⅰ)证明:设AC∩BD=H,连接EH, 在△ADC中,因为AD=CD,且DB平分∠ADC, 所以H为AC的中点, 又E为PC的中点,从而EH∥PA, 因为HE⊂平面BDE,PA⊄平面BDE, 所以PA∥平面BDE; (Ⅱ)证明:因为PD⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以PD⊥AC, 由(I)知BD⊥AC,PD∩BD=D,PD⊂平面PBD,BD⊂平面PBD, 从而AC⊥平面PBD: (Ⅲ)【解析】 在△BCD中,DC=1,DB=2,∠BDC=45° 得BC2=12+(2)2-2×1×cos45°=5, ∴BC=. 在Rt△PDC中,PC=BC=,DC=1,从而PD=2, SABCD=2S△BCD=2,故四棱锥P-ABCD的体积VP-ABCD=.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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