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选修4一5:不等式选讲 设函数f(x)=|x-1|+|x-a|. (I)若a=-...

选修4一5:不等式选讲
设函数f(x)=|x-1|+|x-a|.
(I)若a=-1,解不等式,f(x)≥3;
(II)如果对于任意实数x,恒有f(x)≥2成立,求a的取值范围.
(I)由函数f(x)=|x-1|+|x-a|,知当a=1时,不等式f(x)≥3等价于|x-1|+|x+1|≥3,根据绝对值的几何意义能求出不等式f(x)≥3的解集. (II)对∀x∈R,f(x)≥2,只需f(x)的最小值大于等于2.当a≥1时,f(x)=|x-1|+|x-a|=,f(x)min=a-1.同理,得当a<1时,f(x)min=1-a,由此能求出a的取值范围. 【解析】 (I)∵函数f(x)=|x-1|+|x-a|, ∴当a=1时,不等式f(x)≥3等价于|x-1|+|x+1|≥3, 根据绝对值的几何意义: |x-1|+|x+1|≥3可以看做数轴上的点x到点1和点-1的距离之和大于或等于3, 则点x到点1和点-1的中点O的距离大于或等于即可, ∴点x在或其左边及或其右边, 即或. ∴不等式f(x)≥3的解集为(-∞,-]∪. (II)对∀x∈R,f(x)≥2, 只需f(x)的最小值大于等于2. 当a≥1时,f(x)=|x-1|+|x-a|=, ∴f(x)min=a-1. 同理,得当a<1时,f(x)min=1-a, ∴或, 解得a≥3,或a≤-1, ∴a的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞).
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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