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已知二次函数g(x)对任意实数x都满足g(x-1)+g(1-x)=x2-2x-1...

已知二次函数g(x)对任意实数x都满足g(x-1)+g(1-x)=x2-2x-1,且g(1)=-1.
(1)求g(x)的表达式;
(2)设1<m≤e,H(x)=g(x+manfen5.com 满分网)+mlnx-(m+1)x+manfen5.com 满分网,求证:H(x)在[1,m]上为减函数;
(3)在(2)的条件下,证明:对任意x1,x2∈[1,m],恒有|H(x1)-H(x2)|<1.
(1)设出二次函数g(x),将已知条件代入g(x)的解析式,列出关于待定系数的方程,解方程求出各个系数,得到g(x)的解析式. (2)将(1)中g(x)的解析式代入H(x),求出H(x)的导函数,根据自变量的范围,判断出H(x)的导函数的符号,判断出函数的单调性,得证. (3)利用(2),H(x)的单调性,将要证的不等式化为关于m的不等式恒成立,构造新函数h(x),求出h(x)的导数,判断出导函数的符号,从而得到h(x)的单调性,求出h(x)的最大值,得到要证的不等式. 【解析】 (1)设g(x)=ax2+bx+c 于是g(x-1)+g(1-x)=2a(x-1)2+2c=(x-1)2-2 所以 又g(1)=-1 所以b= 所以  (2)   因为对∀x∈[1,m], 故H(x)在[1,m]上为减函数   (3)由(2)得:H(x)在[1,m]上为减函数则: |H(x1)-H(x2)|<1⇐⇔ 记, 则 所以是单调增函数, 所以,故命题成立
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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