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设f(x)是定义在R上的增函数,且对于任意的x都有f(-x)+f(x)=0恒成立...

设f(x)是定义在R上的增函数,且对于任意的x都有f(-x)+f(x)=0恒成立.如果实数m、n满足不等式f(m2-6m+21)+f(n2-8n)<0,那么m2+n2 的取值范围是( )
A.(9,49)
B.(13,49)
C.(9,25)
D.(3,7)
根据对于任意的x都有f(-x)+f(x)=0恒成立,不等式可化为f(m2-6m+21)<f(-n2+8n),利用f(x)是定义在R上的增函数,可得(m-3)2+(n-4)2<4,确定(m-3)2+(n-4)2=4内的点到原点距离的取值范围,利用m2+n2 表示(m-3)2+(n-4)2=4内的点到原点距离的平方,即可求得m2+n2 的取值范围. 【解析】 ∵对于任意的x都有f(-x)+f(x)=0恒成立 ∴f(-x)=-f(x) ∵f(m2-6m+21)+f(n2-8n)<0, ∴f(m2-6m+21)<-f(n2-8n)=f(-n2+8n), ∵f(x)是定义在R上的增函数, ∴m2-6m+21<-n2+8n ∴(m-3)2+(n-4)2<4 ∵(m-3)2+(n-4)2=4的圆心坐标为:(3,4),半径为2 ∴(m-3)2+(n-4)2=4内的点到原点距离的取值范围为(5-2,5+2),即(3,7) ∵m2+n2 表示(m-3)2+(n-4)2=4内的点到原点距离的平方 ∴m2+n2 的取值范围是(9,49). 故选A.
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