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满分5
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高中数学试题
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设a为实数,函数f(x)=ex-2x+2a,x∈R. (1)求f(x)的单调区间...
设a为实数,函数f(x)=e
x
-2x+2a,x∈R.
(1)求f(x)的单调区间及极值;
(2)求证:当a>ln2-1且x>0时,e
x
>x
2
-2ax+1.
(1)由f(x)=ex-2x+2a,x∈R,知f′(x)=ex-2,x∈R.令f′(x)=0,得x=ln2.列表讨论能求出f(x)的单调区间区间及极值. (2)设g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R,于是g′(x)=ex-2x+2a,x∈R.由(1)知当a>ln2-1时,g′(x)最小值为g′(ln2)=2(1-ln2+a)>0.于是对任意x∈R,都有g′(x)>0,所以g(x)在R内单调递增.由此能够证明ex>x2-2ax+1. (1)【解析】 ∵f(x)=ex-2x+2a,x∈R, ∴f′(x)=ex-2,x∈R. 令f′(x)=0,得x=ln2. 于是当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x (-∞,ln2) ln2 (ln2,+∞) f′(x) - + f(x) 单调递减 2(1-ln2+a) 单调递增 故f(x)的单调递减区间是(-∞,ln2), 单调递增区间是(ln2,+∞), f(x)在x=ln2处取得极小值, 极小值为f(ln2)=eln2-2ln2+2a=2(1-ln2+a),无极大值. (2)证明:设g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R, 于是g′(x)=ex-2x+2a,x∈R. 由(1)知当a>ln2-1时, g′(x)最小值为g′(ln2)=2(1-ln2+a)>0. 于是对任意x∈R,都有g′(x)>0,所以g(x)在R内单调递增. 于是当a>ln2-1时,对任意x∈(0,+∞),都有g(x)>g(0). 而g(0)=0,从而对任意x∈(0,+∞),g(x)>0. 即ex-x2+2ax-1>0, 故ex>x2-2ax+1.
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考点分析:
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在直角坐标系xOy中,椭圆C
1
:
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F
1
,F
2
.F
2
也是抛物线C
2
:y
2
=4x的焦点,点M为C
1
与C
2
在第一象限的交点,且|MF
2
|=
.
(Ⅰ)求C
1
的方程;
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,直线l∥MN,且与C
1
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,求直线l的方程.
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n
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n
,设S
3
=12,且2a
1
,a
2
,a
3
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n
.
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函数
的最小正周期是
.
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试题属性
题型:解答题
难度:中等
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