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满分5
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高中数学试题
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在直角坐标系xOy中,椭圆C1:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2....
在直角坐标系xOy中,椭圆C
1
:
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F
1
,F
2
.F
2
也是抛物线C
2
:y
2
=4x的焦点,点M为C
1
与C
2
在第一象限的交点,且|MF
2
|=
.
(Ⅰ)求C
1
的方程;
(Ⅱ)平面上的点N满足
,直线l∥MN,且与C
1
交于A,B两点,若
,求直线l的方程.
(Ⅰ)先利用F2是抛物线C2:y2=4x的焦点求出F2的坐标,再利用|MF2|=以及抛物线的定义求出点M的坐标,可以得到关于椭圆方程中参数的两个等式联立即可求C1的方程; (Ⅱ)先利用,以及直线l∥MN得出直线l与OM的斜率相同,设出直线l的方程,把直线方程与椭圆方程联立得到关于A,B两点坐标的等式,整理代入,即可求出直线l的方程. 【解析】 (Ⅰ)由C2:y2=4x知F2(1,0). 设M(x1,y1),M在C2上,因为, 所以,得,.M在C1上,且椭圆C1的半焦距c=1, 于是 消去b2并整理得9a4-37a2+4=0,解得a=2(不合题意,舍去). 故椭圆C1的方程为. (Ⅱ)由知四边形MF1NF2是平行四边形,其中心为坐标原点O, 因为l∥MN,所以l与OM的斜率相同, 故l的斜率.设l的方程为. 由 消去y并化简得9x2-16mx+8m2-4=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),,. 因为,所以x1x2+y1y2=0. x1x2+y1y2 =x1x2+6(x1-m)(x2-m) =7x1x2-6m(x1+x2)+6m2 ==. 所以.此时△=(16m)2-4×9(8m2-4)>0, 故所求直线l的方程为,或.
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考点分析:
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.
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