Question

如图，椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为，不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求△APB面积取最大值时直线l的方程．

Answer

（Ⅰ）由题意，根据离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为，建立方程，即可求得椭圆C的方程；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M，当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x=0，与不过原点的条件不符，故设AB的方程为y=kx+m（m≠0）由，消元再利用韦达定理求得线段AB的中点M，根据M在直线OP上，可求|AB|，P到直线AB的距离，即可求得△APB面积，从而问题得解．
【解析】
（Ⅰ）由题意，解得：．
∴所求椭圆C的方程为：．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M
当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x=0，与不过原点的条件不符，故设AB的方程为y=kx+m（m≠0）
由，消元可得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0①
∴，
∴线段AB的中点M
∵M在直线OP上，∴
∴k=-
故①变为3x2-3mx+m2-3=0，又直线与椭圆相交，
∴△＞0，x1+x2=m，
∴|AB|=
P到直线AB的距离d=
∴△APB面积S=（m∈（-2，0）
令u（m）=（12-m2）（m-4）2，则
∴m=1-，u（m）取到最大值
∴m=1-时，S取到最大值
综上，所求直线的方程为：