Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为的菱形，∠BAD=120°，且PA⊥平面ABCD，PA=，M，N分别为PB，PD的中点．
（1）证明：MN∥平面ABCD；
（2）过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值．

Answer

（1）连接BD，利用三角形的中位线的性质，证明MN∥BD，再利用线面平行的判定定理，可知MN∥平面ABCD；
（2）方法一：连接AC交BD于O，以O为原点，OC，OD所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系，求出平面AMN的法向量，利用效率的夹角公式，即可求得二面角A-MN-Q的平面角的余弦值；
方法二：证明∠AEQ为二面角A-MN-Q的平面角，在△AED中，求得AE=，QE=，AQ=2，再利用余弦定理，即可求得二面角A-MN-Q的平面角的余弦值．
（1）证明：连接BD．∵M，N分别为PB，PD的中点，
∴在△PBD中，MN∥BD．
又MN⊄平面ABCD，BD⊂平面ABCD
∴MN∥平面ABCD；
（2）方法一：连接AC交BD于O，以O为原点，OC，OD所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系，在菱形ABCD中，∠BAD=120°
，得AC=AB=，BD=
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC
在直角△PAC中，，AQ⊥PC得QC=2，PQ=4，由此知各点坐标如下
A（-，0，0），B（0，-3，0），C（，0，0），D（0，3，0），P（），M（），N（）
Q（）
设=（x，y，z）为平面AMN的法向量，则．
∴，取z=-1，
同理平面QMN的法向量为
∴=
∴所求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值为．
方法二：在菱形ABCD中，∠BAD=120°，得AC=AB=BC=CD=DA=，BD=
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥AD，∴PB=PC=PD，∴△PBC≌△PDC
而M，N分别是PB，PD的中点，∴MQ=NQ，且AM=PB==AN
取MN的中点E，连接AE，EQ，则AE⊥MN，QE⊥MN，所以∠AEQ为二面角A-MN-Q的平面角
由，AM=AN=3，MN=3可得AE=
在直角△PAC中，AQ⊥PC得QC=2，PQ=4，AQ=2
在△PBC中，cos∠BPC=，∴MQ=
在等腰△MQN中，MQ=NQ=．MN=3，∴QE=
在△AED中，AE=，QE=，AQ=2，∴cos∠AEQ=
∴所求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值为．